Свойства биссектрисы равнобедренного треугольника

Дополнительные параметры Геометрия

В задачах по геометрии иногда возникает необходимость выполнять дополнительные построения. К их числу относится биссектриса равнобедренного треугольника, свойства которой зависят от типа фигуры. Именно эта особенность вызывает путаницу у школьников. В результате у них возникают проблемы при доказательстве различных утверждений и решении задач. Чтобы такого не случилось, нужно последовательно изучать материал.

Общие сведения

Классификация треугольников

Изучение любой дисциплины начинается со знакомства с терминами и основными положениями. Треугольник — геометрическая фигура, состоящая из трех вершин, не лежащих на одном отрезке или луче. Обозначается он при помощи специального символа Δ, после которого следуют определенные символы. Для примера можно обратить внимание на запись ΔQWE. Она читается следующим образом: треугольник кью дабл ю е.

Следует отметить, что фигуру можно обозначать любым набором из трех символов, но специалисты рекомендуют брать спаренные буквы, когда они следуют друг за другом по алфавиту, например, ΔDEF.

Вершина — граничная точка, образованная пересечением прямых, на которых лежат стороны. Они отсекают (урезают) лучи, в результате чего и образуется Δ.

Прямая — это линия, состоящая из множества точек, размещенных последовательно в одной плоскости. Она бесконечна, не имеет начала и конца. У нее существуют определенные производные. К ним относятся:

  • отрезок;
  • луч.

Отрезком является часть прямой, ограниченная двумя точками. Луч — прямая, исходящая в пространство из одной точки. Кроме того, у Δ существуют дополнительные параметры — медиана, биссектриса и высота.

Дополнительные параметры

Очень часто при решении заданий необходимо делать дополнительные построения. Треугольник не является исключением. В нем можно провести высоту, медиану и биссектрису. Каждая из этих линий считается отрезком, хотя их можно и продлить при необходимости.

Теорема о трех биссектрисах

Высота — часть прямой, проведенной из вершины геометрической фигуры под прямым углом на другую сторону, которая является противоположной. Медиана — линия, соединяющая заданную вершину со средней точкой противоположной стороны.

Иными словами, медиана делит ее на две равные части.

Биссектриса — луч или отрезок, который делит исходный угол (обозначение ∠) на два эквивалентных значения. Например, при проведении ее из прямого ∠ она делит его на две равные части по 45 градусов. Однако бывают ситуации, когда такие отрезки совпадают. Это зависит от вида треугольника.

Классификация треугольников

Треугольники классифицируются в зависимости от углов и сторон на несколько групп. Эти фигуры бывают:

  • произвольными;
  • прямоугольными;
  • равнобедренными;
  • равносторонними.

Биссектриса равнобедренного треугольника

Произвольным треугольником называется фигура, имеющая разные стороны и размерности углов. Если один из них равен 90°, значит, он прямоугольный. У равнобедренного равны только две стороны между собой. Когда у фигуры эквивалентны одному значению все стороны, он считается равносторонним или правильным.

Следует отметить, что прямоугольным Δ может быть и равнобедренный. Теперь необходимо разобрать теорему о биссектрисах равнобедренного треугольника и свойства, используемые при выполнении заданий.

Теорема о трех биссектрисах

Для решения задач по геометрии применяются различные теоремы. Одна из них называется утверждением о биссектрисах. Ее можно сформулировать в таком виде: биссектрисы пересекаются внутри треугольника в одной точке, которая является инцентром. Кроме того, биссектриса, проведенная к основанию, является высотой. Алгоритм доказательства теоремы выглядит следующим образом:

Теорема о биссектрисе равнобедренного

  1. Обозначить равнобедренный треугольник ΔQRS.
  2. Провести из вершины Q биссектрису QQ’, а затем выполнить аналогичное действие для вершины R, начертив RR’.
  3. Обозначить точку их пересечения Т.
  4. Далее нужно предположить, что отрезки QQ’ и RR’ не пересекаются. Из этого следует, что они параллельны между собой, а сторона QR — секущая прямая.
  5. На основании четвертого пункта должно выполняться следующее утверждение, основанное на свойстве секущей: ∠Q+∠R=360. Однако это невозможно, поскольку сумма углов фигуры должна составлять 180 градусов.
  6. На основании пятого пункта можно сделать вывод, что предположение о параллельности биссектрис неверное. Следовательно, они пересекаются, что свидетельствует о доказательстве теоремы.
  7. Для доказательства второй части формулировки теоремы (любая высота равнобедренного треугольника является его биссектрисой) следует рассмотреть высоту, опущенную из вершины, образованной равными боковыми сторонами, на основание. Ее нужно обозначить RR’.
  8. Она образует два треугольника (ΔQRR’ и ΔR’RS), которые на основании определения о высоте являются прямоугольными.
  9. Фигуры равны между собой по двум углам и двум сторонам.
  10. На основании девятого пункта можно сделать вывод, что углы при вершине R равны. Следовательно, RR’ — биссектриса.
  11. Теорема доказана.

На основании утверждения можно выделить два полезных свойства. Они имеют следующие формулировки:

  1. Любая биссектриса равнобедренного треугольника является медианой.
  2. В равностороннем треугольнике любая биссектриса является медианой и высотой, поскольку у него все стороны равны.

Однако этого недостаточно для нахождения величин треугольника, то есть его периметра, площади, углов и сторон. В этом случае будут полезны формулы.

Полезные формулы

Для решения задач применяются не только теоремы и свойства, но и соотношения. В них подставляются известные величины. Для нахождения биссектрисы в треугольнике с равными боковыми сторонами, проведенной из вершины к основанию, специалисты выделяют две основные формулы:

  1. При проведении биссектрисы из вершины к основанию сторона QS вычисляется по формуле QS=QR’+R’S.
  2. Длина этой величины при известной боковой стороне и основании определяется следующим образом: RR’ = L = [(QR)^2 — ((QS)/2)^2]^(½).

Для удобства можно обозначить элементы соотношения следующим образом: RR’=L, QR=t и QS=s. Тогда значение искомой величины можно найти по переделанному соотношению: L=[t ²- (s/2)^2]^(½).

Таким образом, для решения задач по геометрии нужно знать теорему о биссектрисах, их свойства для равнобедренных и равносторонних треугольников, а также основные соотношения.

Оцените статью
Na5.club
Добавить комментарий

Adblock
detector