Способы и методика разложения на простые множители

Математика Математика

Для оптимизации расчетов необходимо использовать разложение на простые множители. Способов существует много, но специалисты рекомендуют пользоваться основными из них. Чтобы выяснить саму суть операции, нужно получить определенные базовые знания. Однако этого недостаточно, поскольку любая теория должна «подкрепляться» практическими навыками.

Общие сведения

Разложение выражений на простые множители применяется для оптимизации вычислений, решения уравнений, а также для упрощения выражений. Эта операция позволяет существенно уменьшить объем вычислений. Для этой цели применяются специальные формулы. Чтобы грамотно ими воспользоваться, требуется обладать определенными навыками. К последним относятся следующие:

Разложение на простые множители

  1. Вынесение общего множителя за скобки.
  2. Факторизация.
  3. Приведение подобных слагаемых.
  4. Формулы сокращенного умножения.

Каждый из навыков является очень важным, поскольку, не зная какого-либо одного, можно решить задание неправильно или очень «длинным» методом, увеличив количество расчетного времени. Специалисты рекомендуют рассмотреть каждый случай подробно.

Единый множитель и факторизация

Очень часто при решении различных заданий применяется прием вынесения общего множителя. Примером является выражение числового типа «28+49». Чтобы его быстро решить, нужно выполнить следующее преобразование: 7*4+7*7. Далее необходимо вынести единый сомножитель: 7(4+7). После этого вычислить его значение будет очень просто: 7*11=77.

Если выражение является алгебраическим, то значит оно состоит из чисел и букв. Например, в задаче необходимо вынести общий множитель для выражения 2t+10t^2+4. Чтобы выполнить эту операцию, требуется разложить на простые сомножители, 2*t+2*5*t*t+2*2. После этого определить единый элемент: 2(t+5t^2+2).

Работа по математике

Факторизация — это специальный термин в алгебре, характеризующий в выражении наличие единого факториала. Для иллюстрации определения следует привести такой пример: 1*2*3*4*5*6*7+1*2*3*4*5+1*2*3*4. Если вычислять отдельно каждый из элементов, то расчеты затянутся надолго.

В этом случае рекомендуется записать слагаемые в виде отдельных факториалов, то есть 7!+5!+4!. Далее необходимо просто вынести общий множитель: 4!(5*6*7+5+1). Однако вынесение сомножителей на этом не заканчивается, поскольку можно выполнить еще и операцию в скобках: 4!(5*(6*7+1)+1). После этого вычисление становится очень удобным, так как 4!(5*43+1)=24(215+1)=5184.

Приведение единых компонентов

Чтобы разложить на простые множители, иногда требуется раскрыть скобки, и привести подобные слагаемые. Для этого нужно разобрать такой пример: 2t^2-3t-t^2+8t+16-5t-20. Сразу вынести единый множитель не получится. В этом случае рекомендуется привести подобные слагаемые, сгруппировав элементы алгебраического выражения: (2t^2-t^2)+(8t-3t-5t)+(16-20).

Далее нужно осуществить математические операции: t^2+0-4=t^2-4. Последнее соотношение — разность квадратов, раскладывается на простые множители: (t-2)(t+2). Однако не всегда имеет смысл приводить подобные слагаемые. В некоторых случаях дописываются определенные числовые значения, чтобы свернуть тождество по формулам сокращенного умножения.

Разложение чисел на простые множители

Например, нужно разложить на множители многочлен «t^2-2t+3». Для этого достаточно прибавить, а затем отнять единицу, то есть t^2-2t+3+1-1=(t-2)^2-1=(t-2-1)(t-2+1)=(t-3)(t-1). Далее необходимо рассмотреть соотношения сокращенного умножения.

Тождества сокращенного произведения

Соотношения сокращенного произведения — формулы, которые используются для разложения числового или алгебраического выражения на простые множители. Они изучаются в 5 классе на уроке математики. При их использовании понижается степенной показатель. Специалисты выделяют четыре основных группы тождеств:

Математика решение примеров

  1. Кубическая разность или сумма компонентов: w^3-v^3=(w-v)(w^2+wv+v^2) и w^3+v^3=(w+v)(w^2-wv+v^2).
  2. Сумма или разность в кубической степени: (q+z)^3=q^3+3qz^2+3zq^2+z^3 и (q-z)^3=q^3-3qz^2+3zq^2-z^3.
  3. Разность компонентов во второй степени: w^2-z^2=(w-z)(w+z).
  4. Квадрат слагаемых или вычитаемых двух элементов можно править в такой форме (ссылаясь на вторую группу): (q+w)^2=q^2+2qw+w^2 и (q-w)^2=q^2-2qw+w^2.

Cледует отметить, что специалисты рекомендуют составить таблицу множителей, в которую нужно записать все формулы сокращенного умножения. Записать данные нужно на отдельном листе бумаге и расположить его на рабочем месте ученика.

В некоторых ситуациях ученики сталкиваются со взаимно обратными числами. Чтобы правильно производить арифметические операции, нужно учитывать, что их произведение равно единице (числа и обратной дроби, то есть 3 и 1/3). Этим свойством часто пользуются математики при доказательстве различных тождеств и теорем. Далее следует перейти к практическому решению задач, поскольку этот подход очень часто используется в качестве тренажера.

Пример задания

Для закрепления теоретического материала необходимо решить следующее числовое выражение оптимальным методом: 2576*5-4860*3-150-420. Для решения нужно разбить выражение на компоненты:

Математика числа

  1. 2576*5.
  2. 4860*3.
  3. -(150+420).

Первое выражение возможно вычислить, воспользовавшись таким правилом: 2576*5=(2600-24)*5=13000-120=12880. Для второго тождества требуется произвести аналогичные преобразования: (5000-40)*3=15000-120=14880. Третье выражение вычисляется очень просто: -(150+420)=-570. Далее требуется просто вычислить значение искомого тождество, воспользовавшись промежуточными вычислениями: 12880-14880-570=-2000-570=-2570.

После выполнения расчетов можно использовать калькулятор корней, дробей, простых чисел для проверки результата. Эта методика позволяет выполнять вычисления без помощи специальных средств, поскольку не всегда можно ими воспользоваться при решении задач на контрольных, и прочих форм отчетности по физико-математическим дисциплинам.

Таким образом, разложение на простые сомножители позволяет оптимизировать вычислительный процесс без использования калькулятора и прочих средств вычислительной техники.

Оцените статью
Na5.club
Добавить комментарий

Adblock
detector