Примеры работы со смешанными дробями (математика, 5 класс)

Смешанные дроби Математика

При решении задач ученики сталкиваются в математике 5 класса с примерами смешанных дробей, которые необходимо переводить в неправильные дробные тождества. Не зная соответствующего алгоритма, осуществить это действие невозможно. Кроме того, большинству не совсем понятна школьная программа. Специалисты, учитывая особенности головного мозга ребенка, разработали собственную методику.

Общие сведения

Смешанная дробь — число, состоящее из целого значения и обыкновенного дробного выражения. Они образуются в результате операции деления. Последняя состоит из трех элементов, а именно: делимого, делителя и частного. Чтобы понять смысл смешанного числа, нужно разобрать дробные величины. К ним относятся следующие виды:

  1. Обыкновенные.
  2. Десятичные.

Обыкновенная дробь образуется посредством комбинации делимого и делителя, т. е. состоит всего из двух элементов. В этом случае частное имеет вид десятичного дробного тождества. Иными словами, десятичная дробь — величина, полученная при делении числителя на знаменатель.

Обыкновенные дробные выражения

Обыкновенные дробные выражения бывают двух видов: правильными и неправильными. У первых величина числителя меньше знаменателя, а у вторых — наоборот. Десятичные дроби делятся на 3 типа: с фиксированным количеством знаков после запятой, бесконечные периодические и непериодические.

У периодических дробных величин после запятой математические символы повторяются через определенный период, который указывается в круглых скобках. Например, число 4,(3) читается следующим образом: четыре целых и три в периоде.

Если дробное тождество является непериодическим и бесконечным, обычно его необходимо округлять до какого-либо элемента или записывать в виде обыкновенной дроби.

Следует отметить, что бесконечные непериодические дробные выражения в их полном виде невозможно записать на листе бумаги, поскольку количество разрядов достигает бесконечности. Далее необходимо рассмотреть сокращение дробей, поскольку операция применяется для оптимизации конвертации неправильного дробного тождества в смешанное число.

Свойства дробей

Дроби, как и любые числовые выражения, обладают определенными свойствами. К ним относятся:

  1. Если от числителя отнять одно значение, а затем его прибавить, дробь не изменится, т. е. (Q+T-T)/Z=Q/Z.
  2. При умножении и делении на эквивалентное число величина дробного тождества не изменится, т. е. (Q*T)/(Z*Т)=Q/Z.

Первое утверждение проверить очень просто. Для этой цели нужно решить следующий пример, прибавив и отняв от числителя одно и то же значение: 7/8. Доказательство имеет такой вид:

Основное свойство дроби

  1. Записать дробь: 7/8.
  2. Взять произвольный коэффициент: 5.
  3. Отнять, а затем прибавить его к числителю: (7−5+5)/8.
  4. Числа «-5» и «5» являются противоположными. Их сумма равна 0, т. е. 5−5=0.
  5. Если прибавить нуль к любому числу, получится искомая величина: 5+0=5.
  6. Математические преобразования исходной дроби: (7−5+5)/8=[7-(5−5)]/8=(7+0)/8.
  7. Результат совпадает с искомым значением: 7/8=7/8.

Второе утверждение доказывается таким же простым способом на дроби ½. Для этого нужно решить пример (1*8)/(2*8) по следующему нестандартному алгоритму:

  1. Записать дробное тождество: ½.
  2. Коэффициент — общий множитель: 8. Последний необходимо представить в виде обыкновенной дроби: 8/8.
  3. Величина «8/8» эквивалентна единице, которую можно умножить на любое число без потери значения выражения.
  4. Расписать дробное значение: (½) * (8/8) = (½) * 1 = ½.
  5. Сравнить результат и исходное значение: ½ = ½.
  6. Утверждение доказано.

Некоторые ученики делают большую ошибку, отнимая (прибавляя) к числителю и знаменателю одну величину. Чтобы они не путали 2 утверждения сокращения, нужно привести пример и решить его:

Ученики решают

  1. Записать искомое значение: ½.
  2. Коэффициент: 3.
  3. Прибавить значение «3» к числителю и знаменателю: (1+3)/(2+3)=4/5.
  4. Превратить искомое значение и величину в третьем пункте в десятичные дроби: 0,5 и 0,8.
  5. Сравнить: 0,5 < 0,8.

Следует отметить, что в пятом пункте выражения должны быть равны. Значит, прибавление к числителю и знаменателю эквивалентного значения не допускается. Далее необходимо перейти к операции сокращения дробного тождества.

Упрощение выражений

Преобразование любого арифметического выражения начинается с упрощения. Последнее применяется для уменьшения расчетов, при которых возникают ошибки. Упростить выражение — значит, сделать его более читабельным и предоставить возможность дальнейшего применения при расчетах. Иными словами, каждый результат должен «подгоняться» под мировой стандарт. Для сокращения дробей обыкновенного типа рекомендуется использовать такие правила:

Сокращение дроби

  1. Вынесения общего множителя за скобки и сокращение на него.
  2. Формулы сокращенного умножения.
  3. Приведение подобных слагаемых.

Первое правило позволяет найти единый множитель всего дробного выражения. После этого его можно будет разделить на одно и то же число. Формулы сокращенного умножения применяются также для реализации первого правила. Суть метода заключается в использовании специальных соотношений. Например, математическое выражение «1−25t 2 » выглядит таким образом: (1−5t)(1+5t).

После раскрытия скобок реализовывается третье правило — приведение подобных слагаемых. Они группируются по наличию однотипных элементов. Например, выражение 4t-4+t+t 2 −3+2t 2 имеет следующие одинаковые компоненты, которые группируются в скобках: (2t 2 +t 2 )+(4t+t)-(4+3). Если приводить подобные элементы, выражение упрощается, т. е. 3t 2 +5t-7.

Действия над смешанными числами

Смешанное число — математическое выражение, в состав которого входят целая величина и обыкновенная правильная дробь. Например, 7[1/3] является смешанным, целая часть — 7 и дробная — 1/3. Последняя заключается в квадратные скобки. В смешанное выражение могут конвертироваться только целые числа и неправильные дроби.

Для каждого вида конвертации существует определенная методика. Специалисты предлагают только 2 алгоритма преобразования:

  1. Целого числа.
  2. Неправильной дроби.

В первом случае операция выполняется довольно просто. Однако начинающим математикам рекомендуется пока придерживаться методики. Неправильную дробь необходимо конвертировать по усложненному алгоритму при помощи специальной формулы. Последняя формирует новый числитель.

Представление целой величины

Необязательно исходным значением может быть неправильная дробь. Каждое целое число можно представить в виде смешанного при помощи такого алгоритма:

Натуральные числа в виде смешанных дробей

  1. Записать величину.
  2. Отнять от целой части единицу.
  3. Указать в скобках дробь — единичное значение.
  4. Написать результат.

Реализация методики выполняется на примере числа 7, которое нужно представить в смешанной форме. Операция выглядит таким образом:

  1. Записать число: 7.
  2. Величина без учета единицы: 6.
  3. Дробь: 2/2.
  4. Полная запись: 6[2/2].

Результат необходимо проверять. Для этого нужно умножить целую часть на знаменатель и прибавить числитель, т. е. (6*2+2)/2=14/2. Если выполнить операцию деления, получится исходное значение.

Конвертация неправильного дробного тождества

В случае конвертации числа, представленного в виде обыкновенной дроби, необходимо воспользоваться определенным алгоритмом. Он выглядит таким образом:

  1. Записать число смешанного типа.
  2. Выделить целую часть.
  3. Рассчитать «новый» числитель по формуле: Q’=Q-C*Z, где Q — искомая величина числителя, C — целое число и Z — знаменатель.
  4. Результат: Q’/Z.

Реализацию алгоритма нужно разобрать на примере «78/7» для закрепления теоретических знаний. Решать его нужно следующим образом:

  1. Записать значение: 78/7.
  2. Выделить целое значение (часть): 78/7=11.
  3. Найти величину нового числителя: 78−11*7=1, где 78 — числитель искомой неправильной дроби, 7 — ее знаменатель и 11 — целая часть.
  4. Написать результат: 11[1/7].

Специалисты рекомендуют на начальных этапах обучения четко следовать методике. Со временем надобность в ней исчезнет, поскольку операция преобразования будет выполняться на автоматизме. Далее необходимо разобрать алгоритм обратной конвертации.

Обратная операция

Для проверки правильности конвертации неправильной дроби в смешанное число или решения задач необходимо воспользоваться специальным алгоритмом. Он имеет следующий вид:

Конвертация неправильной дроби в смешанное число

  1. Записать смешанное тождество.
  2. Вычислить величину нового числителя: Q=Q’+C*Z, где Q’ — исходная величина числителя, C — целое значение и Z — знаменатель.
  3. Записать результат: Q/Z.

Чтобы понять принцип работы алгоритма, необходимо разобрать пример 11[1/7]. Он должен решаться таким способом:

  1. Написать смешанное тождество: 11[1/7].
  2. Числитель: 11*7+1=78.
  3. Искомый результат: 78/7.

При помощи этого алгоритма можно осуществлять операцию преобразования в целое число.

Таким образом, смешанное число — вид дробного выражения, которое применяется при решении задач. Для его конвертации необходимо знать соответствующие методики.

Оцените статью
Na5.club
Добавить комментарий

Adblock
detector