Признак делимости числа на 15: правило и примеры решения

Математика Математика

Для получения целочисленного частного в некоторых задачах по математике требуется подобрать делитель. Эта операция возможна не только для однозначных чисел, но и для двузначных составных. Одним из примеров является признак делимости на 15, правило которого считается достаточно нестандартным. Специалисты разработали специальную методику, позволяющую правильно выполнить данное действие.

Общие сведения

Операция деления одного числа на другое является довольно сложной, поскольку она классифицируется на два направления в зависимости от частного:

  1. Целочисленное.
  2. Дробное.

В первом случае частное, или результат операции деления, является целым числом, т. е. получается без остатка. Об этом говорят, что деление выполнено нацело. Очень часто подбор делителя осуществляется при сокращении дробных выражений по свойству обыкновенной дроби.

Признак делимости на 15

Однако не всегда можно поделить одну величину на другую нацело. В этом случае частное представляется в виде дробного тождества.

Следует отметить, что при сокращении выражений дробного вида в математике не допускается остаток при делении, поскольку это еще сильнее усложняет его алгебраическую запись.

Дробные величины

Дробное выражение может записываться в десятичной, обыкновенной и смешанной формах. Обыкновенное дробное выражение — незаконченная операция деления, поскольку в нем существуют только два компонента, а именно:

Деление

  1. Делимое (значение, делящееся на некоторую величину и представляющее какое-либо целое значение или его часть).
  2. Делитель (величина, показывающая количество равных частей, на которые требуется разделить искомый элемент-делимое).

Записывается обыкновенная дробь следующим образом: m/n, а читается так: «эм энных» (2/5 — две пятых). Элемент «m» еще называют числителем, а «n» — знаменателем. Разделяются эти два компонента при помощи косой черты. Последняя обозначает символ операции деления кроме стандартного двоеточия «:».

Следует отметить, что десятичное дробное тождество является частным, или результатом деления числителя на знаменатель. Далее необходимо подробно рассмотреть для общего развития преобразование неправильного дробного тождества в смешанное число.

Смешанное число

Смешанная форма представления состоит из целой части и правильной обыкновенной дроби. Записывается следующим образом: R[P/S], где R — целая часть, P — числитель и S — знаменатель. Следует отметить, что смешанное число всегда получается из неправильной дроби. У последней числитель всегда больше знаменателя.

Специалисты предлагают простую методику преобразования дробного выражения неправильного типа в смешанную форму. Она выглядит следующим образом:

  1. Записать выражение: m/n, где m>n.
  2. Выделить целую часть: m/n=P.
  3. Произвести расчет нового числителя m’ по формуле: m’=m-P*n.
  4. Результат: Р[m’/n].

Далее требуется разобрать применение методики на практике. Реализация алгоритма имеет такой вид:

  1. Искомая неправильная дробь: 63/11.
  2. Целая часть: 5.
  3. Новый числитель: m’=63−5*11=8.
  4. Результат: 5[8/11].

Обратный алгоритм преобразования числа смешанной формы в неправильную обыкновенную дробь осуществляется в такой последовательности:

Примеры

  1. Пишется величина: Р[m’/n].
  2. Рассчитывается новое значение числителя для неправильной дроби: m=nP+m’.
  3. Записывается результат: m/n.

Для проверки работоспособности методики нужно рассмотреть пример. Реализация алгоритма выглядит таким образом:

  1. Записать величину: 5[8/11].
  2. Числитель: m=11*5+8=63.
  3. Смешанное число: 63/11.

Однако перед тем как перейти к критериям делимости, необходимо разобрать следующие термины: разрядная сетка и цифра.

Структура числа

Число состоит из разрядной сетки, т. е. позиции, в состав которой входят определенные компоненты — цифры (математические символы для построения числовых выражений). Каждая из них стоит на некотором месте. От последнего зависит величина числа. Для примера нужно разобрать величину «45681». Ее необходимо расписать по элементам-разрядам:

  1. Единицы: 1.
  2. Десятки: 8.
  3. Сотни: 6.
  4. Тысячи: 5.
  5. Десятитысячи: 4.

Все пять пунктов являются разрядной сеткой, элементы которой имеют определенное числовое значение. Из последних и складывается величина, т. е. 1*1+10*8+100*6+1000*5+10000*4=45681. Числа бывают четными и нечетными. Четное — величина, заканчивающаяся на одну из цифр {0;2;4;6;8}. Все остальные значения считаются нечетными.

Кроме того, любая величина может быть простой и составной. Первую невозможно разделить на какое-либо число, кроме единицы и самого себя. Для примера можно рассмотреть «7».

Она делится только на единицу и на семерку. Если величина является составной, то она содержит и другие делители. Например, 6=2*3. Далее необходимо разобрать критерии целочисленного деления числа на однозначный и двузначный делители.

Признаки деления

Для правильного нахождения или подбора делителя при сокращении обыкновенных дробей необходимо разобрать критерии делимости:

Решать примеры

Делимость на 15

  1. На двойку можно поделить только четное число.
  2. Частное при делении на три будет целым, когда сумму элементов разрядной сетки можно поделить на 3.
  3. На четыре можно поделить при сумме последних двух цифр, кратной 4.
  4. Если последний элемент (цифра) эквивалентен 5 или 0, то значит, число делится на 5.
  5. Число делится на шестерку нацело при выполнении первого и второго критериев, поскольку 6=2*3.
  6. Чтобы поделить величину на 7, нужно разбить его на триады и просуммировать их (без разрядов единиц). Их сумма без удвоенного произведения единичного элемента разрядной сетки должна делиться на 7.
  7. При делении величины на восемь без остатка должны выполняться одновременно первое и третье условия.
  8. На девятку можно разделить число в том случае, когда сумма всех его элементов разрядной сетки делится на 9.
  9. Если величина заканчивается на 0, то ее можно поделить на 10.

Следует отметить, что для любого составного делителя, который получается при произведении простых элементов, возможно составить собственный критерий. Далее необходимо разобрать признак делимости любого числа на 15.

Признак делимости на 15

Для того чтобы выяснить возможность деления числа на пятнадцать, необходимо составить собственный критерий. Он составляется по следующему алгоритму:

Математические знаки

  1. Записывается искомое число-делимое.
  2. Делитель необходимо разложить на множители.
  3. Воспользоваться признаками деления для простых однозначных делителей.
  4. Доказать делимость или неделимость нацело искомого числа.
  5. Записать результат.

Далее требуется сформулировать правило делимости на 15. Оно гласит следующее: величина делится на пятнадцать без остатка только в том случае, когда заканчивается на пятерку, а также сумму ее цифр возможно поделить на тройку. Если разложить 15 на множители, то можно сделать вывод, что значение эквивалентно произведению пятерки и тройки.

Для примера можно разобрать следующую операцию: доказать, что величина «345» делится на 15 без остатка. Для этого требуется воспользоваться такой методикой:

  1. Записать величину: 345.
  2. Разложить делитель: 15=3*5.
  3. На 5: делится, поскольку величина заканчивается на пятерку.
  4. На 3: 3+4+5=12 — делится на три без остатка.
  5. Результат: 345 возможно поделить на пятнадцать без остатка, поскольку число делится на 5 и 3.

Для каждого элемента можно составить свои критерии. Например, для «12» искомая величина должна делиться на тройку и четверку без остатка.

Пример решения задачи

Для закрепления теоретического материала специалисты рекомендуют решить задачу. Ее условие звучит следующим образом: доказать делимость суммы смешанных чисел 202[½] и 112[½] на пятнадцать. Задание решается по такому алгоритму:

Вычисление

  1. Запись числового выражения: (202[2/4] + 112[½])/15.
  2. Преобразование первого смешанного числа в неправильную дробь (можно сократить числитель и знаменатель на двойку): 202[½]=405/2.
  3. Перевести вторую смешанную дробь: 112[½]=225/2.
  4. Сложение: 405/2 + 225/2 = 630/2 = 315.
  5. Проверка делимости на 15: на пятерку делится, поскольку заканчивается на 5 и на тройку также, т. к. 3+1+5=9 (9/3=3).

Следует отметить, что сумма двух смешанных дробей делится на пятнадцать без остатка, поскольку ее можно поделить на три и пять, из которых состоит делитель 15.

Таким образом, при составлении критериев делимости для составных делителей специалисты рекомендуют изучить теорию, а затем переходить к ее практическому применению.

Оцените статью
Na5.club
Добавить комментарий

Adblock
detector