В алгебре при решении задач возникает необходимость найти корни неполного квадратного уравнения, формулы которых требуется выводить. Этот процесс занимает время. Математики позаботились об оптимизации вычислений и предлагают специальные методики для расчетов. Однако перед их использованием нужно изучить теорию.
Общие сведения
Уравнением квадратного вида (квадратичной функцией) называется выражение, состоящее из неизвестных (переменных) и известных (констант) величин, основным условием которого является наличие второй степени при неизвестном значении. Математическая запись имеет такой вид: Mt^2+Nt+C=0, где М, N и С — некоторые константы.
Корнем квадратичного тождества называются такие значения переменных, которые обращают его в истинное равенство. Иными словами, при подстановке величин, полученных при его решении, правая часть равенства эквивалентна левой. Для правильного применения алгоритма поиска корней нужно знать классификацию квадратичных функций с переменными.
Классификация квадратных уравнений
Математики классифицируют квадратичные многочлены с переменными на два вида. К ним относятся следующие:
- Полные.
- Сокращенные.
Первая группа включает все три константы (М, N и С). Вторая группа делится на три типа:
- Без коэффициента перед неизвестной первой степени (N), но с наличием С.
- Без С, но N включен в равенство.
- Без N и С.
В первом случае уравнение записывается в таком виде: Mt^2+Nt+C=0. Если коэффициент N отсутствует, то запись видоизменится таким образом: Mt^2+С=0. При этом достаточно сократить обе части на константу перед переменной, возведенной во вторую степень. Когда отсутствует постоянный коэффициент «С», то выражение записывается в такой форме: Mt^2+Nt=0. Для решения достаточно разложить его на множители, что приведет к понижению степени.
Однако наиболее интересный случай — наличие только компонента «Mt^2». Этот тип решается очень просто, поскольку переменная всегда равна нулевому значению. Хотя в некоторых заданиях она имеет сложную структуру, то есть M(t+1)^2. Пример сводится к полному квадратному уравнению и решается стандартным способом. Далее необходимо разобрать основные методики решения полных и неполных квадратичных функций.
Полные типы
В случаях когда квадратичная функция содержит все элементы (Mt^2+Nt+C=0), к ней можно применить три методики нахождения корней. К ним относятся следующие:
- Формулы корней через величину дискриминанта.
- Теорема Виета.
- Разложение на множители.
Далее требуется разобрать каждый из случаев подробно, а также ознакомиться с методикой решения тождества квадратичной формы с переменными.
Соотношения для определения корней
Формулы позволяют решать полные квадратные уравнения, используя новую величину, которая называется дискриминантом. Она обозначается латинской литерой «D» и раcчитывается по следующей формуле: D=(-N)^2-4МС. Следует отметить, что при подсчете возможны такие варианты значений D:
- D<0: уравнение не имеет решений вообще.
- D=0: только один корень, то есть t=(-N)/(2M).
- D>1: переменная может принимать два значения.
В последнем случае корни необходимо находить по двум формулам: t1=[-N-(D)^0.5]/(2M) и t1=[-N+(D)^0.5]/(2M). Алгоритм решения имеет следующий вид:
- Написать квадратичное тождество с переменными.
- Произвести математические преобразования.
- Определить D и проанализировать его величину, которая показывает количество решений или их отсутствие.
- Рассчитать корни по формулам.
- Проверить найденные величины на четвертом шаге алгоритма, подставив их в исходное уравнение.
- Отсеять ложные значения, то есть числа, приводящие к пустому множеству.
Однако не во всех случаях рекомендуется использовать способ нахождения корней посредством этих соотношений. Для этих целей математики предлагают использовать одно утверждение, называемое теоремой Виета.
Теорема Виета
Коэффициент при старшей степени может быть равен единице, то есть t^2+Nt+C=0. В этом случае необязательно определять величину D, высчитывая ее по формулам. Существует способ намного проще. Он основан на определении корней при помощи теоремы Виета, которая имеет два положения (условия):
- Сумма t1 и t2 равна N, взятому с противоположным знаком.
- Произведение t1 и t2 эквивалентно константе «С».
Алгоритм решения уравнения квадратичной формы существенно упрощается. Он имеет следующий вид:
- Записать тождество.
- Решить систему, состоящую из двух выражений, или методом подбора значений переменных (в основном используется последний вариант).
- Записать результат.
- Выполнить проверку, подставив корни в исходное выражение.
Во втором пункте нужно использовать два условия суммы и произведения корней. Однако существует метод, который проще теоремы Виета и определения переменных по формулам.
Разложение на множители
Методика разложения квадратичной функции на простые множители применяется не только при нахождении корней, но и во многих задачах. Суть ее состоит в использовании формул сокращенного умножения для понижения степенного показателя при переменной. Соотношения разложения на множители, необходимые для решения квадратных уравнений, имеют такой вид:
- Выделение квадрата: математические преобразования для образования соответствующих множителей, которые возможно вынести за скобку или записать в виде формулы сокращенного умножения.
- Разность квадратов двух величин: t^2-m^2=(t-m)(t+m).
- Квадрат суммы 2 числовых значений: (t+m)^2=(t+m)(t+m)=t^2+2t+m^2.
- Квадратичная разность двух чисел: (t-m)^2=(t-m)(t-m)=t^2-2t+m^2.
Для подробной иллюстрации первого соотношения нужно разобрать пример выражения: t^2+2t+1=0. Для выделения квадрата необходимо в левой части прибавить и отнять единицу, то есть t^2+2t+1+(1-1)=0. Следует отметить, что равенство не поменяется, поскольку 1-1=0. Результат имеет такой вид: (t+1)^2-1=0. Последнее соотношение — формула разности, то есть (t+1-1)(t+1+1)=0.
Неполные квадратичные функции
Квадратичные функции неполного вида с неизвестными встречаются в физико-математических дисциплинах достаточно часто. Вычислить значения их корней можно двумя способами:
- Разложить на множители.
- Через дискриминант.
В основном используется первый метод при решении уравнений, поскольку второй добавляет больше вычислений. При использовании дискриминанта нужно дополнительно его рассчитывать, а затем подставлять в соответствующие соотношения. Однако необходимо знать о двух способах решения, а также уметь их применять на практике.
Вынесение компонентов
Методика разложения на множители, позволяющая решать неполные квадратные уравнения, простая и эффективная. Она выполняется по двум направлениям, которые зависят от самих коэффициентов. В первом случае необходимо рассмотреть тождество «Mt^2+С=0». Алгоритм нахождения его корней имеет следующий вид:
- Написать уравнение: Mt^2+С=0.
- Вынести общий множитель: М(t^2+С/М)=0. Если условие позволяет (С/М<0), то можно разложить на разность квадратов, то есть M[t-(С/М)^0.5]*[t+(С/М)^0.5].
- Сократить на «М» обе части равенства: t^2+С/M=0 или [t-(С/М)^0.5]*[t+(С/М)^0.5]=0, где С/М<0.
- Вычислить квадратный корень, переместив константу вправо или решая простые уравнения: t1=-[C/M]^0.5 и t2=+[C/M]^0.5.
- Записать результат и выполнить проверку посредством подстановки корней в исходное уравнение: t1=-[C/M]^0.5 и t2=+[C/M]^0.5.
Для реализации алгоритма следует разобрать пример решения неполной квадратичной функции «5t^2-125=0». Нахождение корней выглядит таким образом:
- 5t^2-125=0.
- 5(t^2-25)=0.
- t^2-25=0.
- t^2-25=(t-5)(t+5)=0.
- t1=-5 и t2=5. Подстановка: 5*(-5)^2-125=0 и 5*(5)^2-125=0. Корни являются истинными значениями, так как не превращают равенство в пустое множество.
Решить квадратное уравнение без «С» (Mt^2+Nt=0) также просто, поскольку в этом случае необходимо воспользоваться определенной методикой. Она имеет такой вид:
- Вынести при необходимости за скобку константу, которая является общим множителем: M[t^2+(N/M)t]=0.
- Сократить обе части равенства на «М»: t^2+(N/M)t=0.
- Вынести «t»: t[t+(N/M)]=0.
- Решить оба уравнения: t1=0 и t2=-N/M.
- Выполнить проверку, подставив решения в исходное выражение.
Далее нужно разобрать нахождение корней уравнения 2t^2-2t=0 при помощи описанной методики. Ее практическая реализация имеет такой вид:
- 2t(t-1)=0.
- t1=0 или t2=1.
- 2*0^2-2*0=0 (+) и 2*1^2-2*1=0 (+).
Следует отметить, что при использовании метода разложения квадратного тождества с переменными на множители, происходит понижение степени. Этот подход можно применить и к выражениям с высшими показателями.
Вычисление дискриминанта
Решение неполного уравнения квадратичной формы через дискриминант осуществляется таким же образом, как и с полным. В формулу подставляются значения коэффициентов и рассчитывается величина «D». Затем вычисляются корни равенства.
Однако существует небольшая поправка для тождества такого типа: t1=(-N-(D)^0.5)/М и t2=(-N+(D)^0.5)/М. Алгоритм для примера «t^2-9=0» выглядит таким образом:
- D=0-1*(-9)=9>0 (два корня).
- t1=(9)^0.5=-3 и t2=(9)^0.5=+3.
- Подстановка: (-3)^2-9=9-9=0 (+) и 3^2-9=9-9=0.
Существуют различные вариации тождеств, но вся методика сводится к подстановочным операциям в соответствующие формулы через дискриминант.
Таким образом, неполные квадратные уравнения решаются двумя способами, но оптимальный из них — разложение на множители для понижения степени при неизвестной.
