Для оптимизации вычислений применяется методика для математики 5 класса — упрощение выражений, формулы которой основаны на соотношениях сокращенного умножения и вынесения общего множителя за скобки. Для перехода к этому материалу специалисты рекомендуют сначала изучить теорию, а затем реализовывать ее практическое применение при решении различных задач.
Общие сведения
При решении уравнений и оптимизации алгебраических выражений часто необходимо упрощать исходные тождества. Этот подход позволяет избавиться от громоздких обыкновенных дробей или квадратичных тождеств. Однако очень часто многие ученики делают много ошибок, поскольку не знают специальных формул и алгоритмов для упрощения выражений обыкновенного и дробного типов.
В первом случае производить какие-либо проверочные операции, при которых тождество принимает значение пустого множества, нет необходимости. Если выражение представлено в виде обыкновенного дробного тождества, то значит, что в обязательном порядке нужно проверить эквивалентность знаменателя нулевому значению. Для этого нужно решить соответствующее уравнение.
Чтобы упростить алгебраическое выражение, нужно разобрать четыре задания-компонента, позволяющие корректно выполнять операции по сокращению элементов тождества. К ним относятся следующие:
- Раскрытие скобок.
- Приведение подобных слагаемых.
- Вынесение общего множителя.
- «Свертывание» выражения при помощи соотношений сокращенного умножения.
Каждую задачу требуется разобрать отдельно. Этот подход позволит избежать неверных ответов при решении уравнений, доказательстве тождеств, а также осуществить корректное упрощение выражений.
Раскрытие скобок
От правильности раскрытия скобок зависит результат решения. Операция выполняется по некоторым правилам:
- Если перед скобкой стоит минус «-«, то знаки всех элементов меняются на противоположные, т. е. -(5+7-2+3-1-2)=-5-7+2-3+1+2.
- Знаки компонентов не меняются при наличии перед скобкой знака сложения «+», т. е. +(7-5)=7-5.
- Когда перед скобкой находится сомножитель, тогда его нужно перемножить с каждым элементом: 3(6-3+2)=18-9+6. Если множитель имеет отрицательный знак, то все произведения являются противоположными компонентами, т. е. -3(6-3+2)=-18+9-6.
- Скобки можно не раскрывать при условии, что выражение представлено в виде обыкновенной дроби и единый сомножитель можно сократить. Например, [(2-s)(1-s)]/(1-s)=2-s.
Следует отметить, что первое правило равносильно такой записи: (-1)*(5+7-2+3-1-2). Для второго случая эквивалентное выражение может иметь такой вид: (+1)*(7-5)=7-5. Третье правило с отрицательным и положительным элементами рассматривается по аналогии первого и второго свойств, т. е. представляется не «-1» или «+1», а числа «3» или «-3».
Четвертое правило применяется только в тех ситуациях, в которых раскрытие скобок приведет к увеличению объемов вычислений. Кроме того, можно к выражению применять сразу несколько свойств. Например, использовать четвертое, а затем раскрыть скобки у других компонентов. Далее нужно перейти к приведению подобных элементов.
Подобные элементы
После выполнения операции раскрытия скобок образуются элементы, состоящие из констант (чисел) и переменных разных степеней. Над ними возможно также выполнять различные арифметические операции. Последними, в основном, являются сложение и вычитание. Кроме того, необходимо также знать определенные законы приведения подобных элементов. К ним относятся следующие:
- Константы складываются с эквивалентными величинами, т. е. 2+3, 5+7 и т. д.
- Переменные складываются только с равносильными значениями по степени, т. е. s+3s, s^2+4s^2 и т. д.
Недопустимой операцией является сложение константы с переменной (то же касается и разности). Например, операцию «7+s» выполнить невозможно. Следует отметить, что также нельзя складывать или отнимать переменные с разными степенными показателями. Для примера необходимо рассмотреть алгебраическое выражение 4s-2s^2 -2s^3.
Для его упрощения можно воспользоваться правилами вынесения общего множителя за скобки, т. е. выполнить еще одно упрощение выражения.
Формулы сокращенного умножения
Соотношения сокращенного умножения применяются для понижения степени исходного выражения. Для этой цели применяются такие формулы:
- Куб двух слагаемых и вычитания: p^3-r^3=(p-r)(p^2+pr+r^2) и p^3+r^3=(p+r)(p^2-pr+r^2).
- Третья степень суммы и разности: (p+r)^3=p^3+3pr^2+3rp^2+r^3 и (p-r)^3=p^3-3pr^2+3rp^2-r^3.
- Вторая степень разности: р^2-r^2=(p-r)(p+r).
- Вторая степень слагаемых и вычитания: (p+r)^2=p^2+2pr+r^2 и (p-r)^2=p^2-2pr+r^2.
Следует отметить, что при невозможности применить тождества сокращенного умножения, нужно воспользоваться другими методами вынесения общего сомножителя. Специалисты рекомендуют не заучивать соотношения, а написать их на отдельном плотном листке бумаги.
Единый сомножитель
При сокращении обыкновенных дробей, в которых присутствуют буквы, иногда нужно выносить общие сомножители за скобки. Для примера нужно разобрать арифметическое выражение «[t^2-s^2+(t-s)(2-t)]/[2t^2-s^2-(t-2)-4(t-1)]». Чтобы его сократить, необходимо сначала вынести общий сомножитель. Однако в этом и заключается проблема — визуально он отсутствует. Для решения задачи необходимо раскрыть скобки и применить формулу сокращенного умножения: [(t-s)(t+s)+(t-s)(2-t)]/[2t^2-s^2-t^2+4t-4-4t+4].
После раскрытия скобок нужно привести подобные компоненты в знаменателе, т. е. [(t-s)(t+s)+(t-s)(2-t)]/[t^2-s^2]. Далее необходимо вынести общий множитель в числителе и знаменателе, предварительно расписав последний: [(t-s)(t+s+2-t)]/[(t-s)(t+s)]. Теперь можно сократить дробь на «(t-s)» при условии, что этот сомножитель не равен нулевому значению: [t+s+2-t]/[(t+s)]. После этого уже можно окончательно приводить подобные слагаемые: (s+2)/(t+s).
Существует также методика, позволяющая разложить квадратичную функцию на множители. Она применяется, когда невозможно найти единый множитель выражения. Для примера нужно разобрать такое квадратное тождество: t^2-3t+2=0. Чтобы определить множители, нужно его решить (найти корни). По теореме Виета это довольно просто: t1=1 и t2=2, т. е. сумма корней, взятая с противоположным знаком эквивалентна «-3», а их произведение — «2».
На основании этого записывается формула общего вида при корнях t1 и t2 при неизвестной в исходном выражении «t»: (t-t1)(t-t2)=0. Далее нужно подставить корни уравнения в последнее выражение: (t-1)(t-2)=0. Следует отметить, что при отрицательных решениях знак «минус» меняется на «плюс».
Кроме того, при неполном квадратичном трехчлене можно не всегда применять методику решения по теореме Виета или дискриминант. Можно также ограничиться обыкновенным вынесением единого сомножителя. Для выполнения этой операции будут полезны такие соотношения:
- Nt^2-M=N[t-(M/N)^0.5][t+(M/N)^0.5].
- Nt^2-Mt=Nt(t-N/M).
Следует отметить, что при решении квадратного уравнения, коэффициент «N» сокращается, т. к. является константой. В этом случае соотношения выглядят таким образом: [t-(M/N)^0.5][t+(M/N)^0.5] и Nt(t-N/M) соответственно.
Таким образом, упрощение выражений сводится к разложению тождеств на множители по формулам сокращенного умножения и другими методами, а также приведению подобных слагаемых.
