Дробные числа и их свойства в математике с примерами

Математика Математика

При решении задач по математике ученикам часто приходится иметь дело не только с целочисленными натуральными величинами, но и с дробными числами. Их свойства используются для оптимизации вычислений, которые применяются при точных расчетах некоторых величин (констант), физических процессов, явлений, а также в различных сферах человеческой деятельности, например, фармацевтика и проектирование устройств.

Общие сведения

Математика — наука, в которой точность расчетов имеет огромное значение. Для примера можно взять любую сферу человеческой жизни. Например, строительство моста. Он сначала проектируется, а затем рассчитывается прочность каждого его элемента. Если отнестись к расчетам несерьезно, то мост может не выдержать определенный вес и обрушиться, что приведет к печальным последствиям.

Обыкновенные дроби

В математике для обозначения точности используются дробные величины. Дробь — определенное числовое значение, показывающее какую-то часть целого числа. На дробную величину распространяются определенные свойства, но перед тем как их разобрать подробно, нужно выяснить, какие бывают дроби и по какому критерию их классифицируют математики.

Следует отметить, что дробные числа еще называются нецелыми, поскольку принадлежат к множеству рациональных величин. Далее необходимо разобрать классификацию дробей.

Виды дробей

В зависимости от типа дроби обладают некоторыми свойствами, которые напрямую зависят от их классификации. Рациональные величины делятся на две группы:

Дроби

  1. Обыкновенные.
  2. Десятичные.

Первые представляют незавершенную операцию деления, т. е. состоят из делимого (числителя) и делителя (знаменателя). Вторые являются частным, полученным при делении двух чисел. Следует отметить, что при работе с рациональными числами требуется определить группу, к которой они принадлежат.

Если этого не сделать, то можно при решении использовать не то свойство. Эти действия часто приводят к плохим оценкам и существенному отставанию от школьной программы.

Чтобы этого не произошло, необходимо разбираться в типах рациональных величин. Для начала необходимо разобрать виды обыкновенные дробные числа.

Типы обыкновенных дробных значений

В зависимости от величины, дробные компоненты делятся на два типа. К ним относятся следующие:

  1. Правильные (числитель всегда меньше знаменателя).
  2. Неправильные (значение числителя превышает знаменатель).

Чтобы понять суть этих величин и их отличие друг от друга, можно привести следующий пример: в каждую корзину положили по 20 яблок (всего 20 корзин). Если предположить, что корзина — это одно целое, состоящее из компонентов (яблок), то значит математическая формула выглядит таким образом: 20/20.

Следует обратить внимание, что величина 20/20 эквивалентна единице. Далее нужно забрать одно яблоко. После этого соотношение будет выглядеть таким образом: 19/20. Последняя величина является правильной дробью, поскольку числитель «19» меньше знаменателя «20». Это пример неправильного дробного тождества, а для демонстрации сути неправильного типа требуется выполнить операцию сложения двух корзин, из которых взяли по одному яблоку, т. е. 19/20 + 19/20 = 38/20 (числитель > знаменателя).

Десятичные дроби

Чтобы не путаться в терминах, необходимо запомнить следующую фразу, вспоминая пример с яблоками и корзинами: в корзину можно положить не более 19 яблок (не 20, т. к. число должно быть нецелым) — это правильно, а больше 20 — не поместятся, поскольку это неправильно, т. к. корзина не рассчитана на такое количество. Далее нужно разобрать десятичные дроби.

Десятичные рациональные величины

Десятичной является произвольная дробь, представляющая законченную операцию деления. Последняя фраза может быть не совсем понятна для некоторых учеников. Следует отметить, что ничего сложного в ней нет. Чтобы объяснить ее, необходимо вспомнить, из каких элементов состоит деление. К ним относятся следующие: искомая величина (делимое), компонент, на который нужно делить (делитель) и результат операции (частное).

Решение задач по математике

Следует отметить, что любая десятичная дробь состоит из целой и дробной частей, которые разделяются при помощи запятой. Однако в различных математических пакетах и калькуляторах может применяться символ точки. Иными словами, величины 4,25 и 4.25 эквивалентны между собой.

Для примера нужно взять обыкновенное числовое выражение «½». Оно является обыкновенной дробью, хотя тождество можно записать иначе: 1: 2. Если воспользоваться калькулятором и разделить единицу на двойку, то получится значение «0,5» (ноль целых пять десятых). Следует отметить, что десятичные дроби делятся на два вида:

  1. С фиксированным количеством знаков после запятой.
  2. Бесконечные.

К первому виду принадлежат любые десятичные дроби, у которых можно сосчитать количество знаков-разрядов в дробной части. Их можно записывать при решении задач с заданной точностью без операции округления.

Следующим видом являются бесконечные десятичные дробные величины. Они по типу разрядов делятся на два класса: периодические и непериодические. К первым принадлежат значения, знаки которых в дробной части повторяются по заданному закону (периоду). Для примера можно рассмотреть операцию деления единицы на тройку, т. е. 1/3. Если воспользоваться калькулятором, то частное будет состоять из нуля и множества троек, идущих после запятой. В этом случае величина записывается следующим образом: 0,(3) — ноль целых и три в периоде.

Однако при работе с бесконечной непериодической дробью необходимо учитывать особенность: невозможно написать ее точное значение на листе бумаги, поскольку количество разрядов в дробной части является бесконечной величиной.

Для этого используют операцию округления или оставляют в виде обыкновенной дроби. Далее необходимо разобрать смешанные формы чисел.

Смешанные числа

Смешанное число — форма, состоящая из целого и нецелого значений. Их можно условно разделить на два класса, который зависит от дробного основания:

  1. Обыкновенные целые.
  2. Десятичные целые.

К первым принадлежат все значения, состоящие из целого и дробного основания, которое является обыкновенной дробью. Вторые практически не отличаются от обыкновенных десятичных дробей, поскольку указывается только число в целой части, т. е. 6,28 (шесть целых двадцать восемь сотых). Для преобразования в обыкновенную дробную величину применяется очень простая методика, которая выглядит следующим образом:

Работа над задачами в математике

  1. Записать текущее дробное число в десятичной форме: 6,28.
  2. Умножить его на десятку, возведенную в показатель, который находится по следующему соотношению: 6,28*10^(количество символов после запятой), т. е. 6,28*10 2
  3. Знаменатель также находится очень просто: равен десятке, умноженной на количество символов после запятой, т. е. 10 2
  4. Записывается результат: 628/100.

Смешанная форма, у которой дробная часть представлена обыкновенной дробью, выглядит таким образом: T[m/n], где Т — целочисленное значение, m — числитель и n — величина знаменателя. Для преобразования в неправильное дробное тождество специалисты рекомендуют применять следующий алгоритм:

  1. Написать искомое значение: Т[m/n].
  2. Рассчитать величину нового числителя: m’=nT+m.
  3. Записать искомый результат: m’/n.

Чтобы проверить реализацию алгоритма на практике, специалисты рекомендуют составлять примеры. Одним из них является следующий: преобразовать смешанную форму «6[1/3]» в неправильную дробь. Решение задачи выглядит следующим образом:

  1. Записывается исходное значение: 6[1/3].
  2. Рассчитывается «новый» числитель по соотношению, предложенному во втором пункте алгоритма: 6*3+1=19.
  3. Пишется искомый результат: 19/3.

Если нужно осуществить обратную конвертацию 19/3 в смешанную форму, то требуется просто выделить целое число делением числителя на знаменатель (19/3=6), а затем от числителя отнять произведение целого на знаменатель (1). После чего можно уже записывать результат преобразования: 6[1/3]. Далее необходимо перейти к основным свойствам десятичных и обыкновенных дробей.

Основные свойства

Для выполнения расчетов с рациональными числами необходимо знать определенные свойства. Они являются различными для каждого из типов дробных выражений. Десятичные дроби имеют следующие особенности:

  1. В дробной части в самом конце можно дописать любое количество нулей. При этом величина дроби не изменится, т. е. 4,20000000000000=4,2.
  2. Разложение на части: целые отдельно от дробных, т. е. 4,2=4+0,2.
  3. Возможность конвертации в обыкновенную дробную величину.
  4. При умножении на взаимно обратное число образуется единица: 4,2 * 1/(4,2) = 1.

Если рассматривать свойства дробей с числителем и знаменателем, то можно сделать выводы об их существенном отличии от десятичных. Особенности обыкновенных рациональных чисел имеют следующий вид:

  1. Любая обыкновенная дробь может быть преобразована в десятичную.
  2. Значение не изменится при умножении или делении числителя и знаменателя на взаимно эквивалентные величины, т. е. 2/3=(2*3)/(3*3)=(2:3)/(3:3).
  3. Если к числителю или знаменателю прибавить, а затем отнять одно значение, то искомое дробное тождество не изменится: 2/3=(2−3+3)/3=2/(3−3+3).
  4. При произведении взаимно обратных чисел получается единица, т. е. 2/3 * 3/2 = 6/6=1.

Следует отметить, что знак плюс + можно не указывать перед положительным дробным числом как для десятичной, так и для обыкновенной формы. Кроме того, при решении примеров необходимо учитывать знаки при раскрытии скобок. Например, в числовом выражении «23,3 * 2 — 3[1/3] * (2,3 — 1/3)» порядок знаков очень важен, т. е. 23,3 * 2 — 3[1/3] * 2,3 + 3[1/3] * 1/3). При неправильном раскрытии скобки знак — может «потеряться». Это приведет к неверным вычислениям.

Свойства дробей

Таким образом, дроби в математике играют очень важную роль и применяются для увеличения точности вычислений, что существенно влияет не только на элементы какой-либо системы, но и на жизнь человека.

Оцените статью
Na5.club
Добавить комментарий

Adblock
detector