Методика сложения смешанных чисел (математика, 5 класс)

Сложение смешанных чисел Математика

У большинства учеников тема сложения смешанных чисел в математике 5 класса вызывает некоторые сложности, поскольку не для всех понятна школьная программа и методика ее изложения. На помощь в этом деле приходят специалисты, которые разработали специальный алгоритм. Он является очень практичным в применении, а также не требует выполнения сложных расчетов.

Общие сведения

Сложить смешанные числа не является сложной задачей. Вся проблема возникает из-за отсутствия определенных знаний и навыков. Для пользования методикой необходимы следующие умения:

  1. Общие понятия об обыкновенных дробях (определение, состав, классификация и свойства).
  2. Упрощение.
  3. Приведение к общему знаменателю.
  4. Работа со смешанным числом (прямая и обратная конвертация в неправильное дробное выражение).

Следует отметить, что специалисты рекомендуют подробно разобрать каждый из пунктов. При этом необходимо соблюдать четкую последовательность. Например, нет смысла изучать сначала третий пункт, поскольку это действие только усложнит процесс понимания материала.

Кроме того, использовать неупрощенное дробное выражение не рекомендуется, т. к. это приводит к усложнению вычислений при решении задач.

Информация об обыкновенных дробях

Обыкновенной дробью называется число, состоящее из двух частей (числителя и знаменателя), разделенных между собой символом косой черты «/». Иными словами, обыкновенное дробное тождество является незавершенной операцией деления, т. е. она состоит из делимого и делителя.

Обыкновенная дробь

Если обратить внимание на обыкновенное деление, то его компонентами являются три части, а именно: делимое, делитель и результат (частное). Математическая форма записи имеет следующий вид: Y/X=Z, где Y — делимое, X — делитель и Z — частное. Обыкновенная дробь записывается в таком виде: Y/X, где Y — числитель и X — знаменатель.

В зависимости от значений Y и X дроби обыкновенного типа классифицируются на два вида. К ним относятся следующие:

  1. Правильные (величина числителя всегда меньше знаменателя).
  2. Неправильные (знаменатель меньше числителя).

Однако бывают случаи, когда Y=X. Это свидетельствует о том, что такое выражение всегда будет эквивалентно единице по свойству деления: частное двух равных между собой чисел всегда равно единице. Это можно проверить, решив пример: 5/5. Результат его решения эквивалентен 1. Следовательно, утверждение является истинным.

Примером правильной дроби является числовое выражение «3/7». У него числитель равен тройке, а знаменатель — семерке. При проверке условия 3<7 можно сделать вывод, что величина 3/7 — это правильное дробное тождество.

Неправильная дробь «8/5» состоит из знаменателя «5», который меньше ее числителя «8». Следует отметить, что данное выражение можно представить в виде смешанного числа. Кроме того, дробное тождество обладает некоторыми полезными свойствами, которые будут полезны для вычислений и решения задач. К ним относятся следующие:

  1. Отнимание и прибавление к числителю или знаменателю одного значения.
  2. Умножение или деление на эквивалентные между собой числовые компоненты.
  3. Произведение взаимно обратных дробей равно единице.

Для примера нужно разобрать выражение «7/8». К его числителю нужно прибавить 3, а затем отнять ее. Математическая запись выглядит таким образом: (7+3−3)/8. Необходимо доказать, что последнее выражение эквивалентно исходному. Это делается очень просто: [7+(3−3)]/8=[7+(0)]/8=7/8, т. е. результат эквивалентен исходному значению. Аналогично доказывается утверждение и для знаменателя, а также второе свойство.

Операция упрощения

Упрощение дроби, как и любого математического выражения, является приоритетом в различных дисциплинах. Суть операции сводится к тому, чтобы предоставить тождество в удобном виде для дальнейших расчетов. Для обыкновенной дроби возможны такие варианты:

Упрощение дроби

  1. Вынесение общего множителя за скобки.
  2. Сокращение на одно и то же число.

В первом случае необходимо обе части дробного выражения представить в виде множителей. Например, 15/60 записывается в таком виде: (3*5)/(2*2*5*3). В данном тождестве общими являются тройка и пятерка. Их можно вынести за скобки, т. е. [(3*5)*1]/[(5*3)*2*2]. После этого можно применить второй тип операции — сокращение на эквивалентное значение «3*5» числителя и знаменателя: ¼.

Следует отметить, что вторую операцию сокращения можно применять сразу. Однако необходимо выполнять ее очень внимательно. Например, нужно сократить дробное тождество «4/8». В этом случае числитель и знаменатель выражения можно поделить на четверку, т. е. 4/8 = ½.

Операции такого типа очень часто рассматриваются на уроках математики 5 класса. Специалисты рекомендуют в домашних условиях потренироваться, выполняя сокращение дробей. На листе бумаге нужно написать дробные выражения, а затем их самостоятельно сократить. Далее для сложения и вычитания рекомендуется ознакомиться с приведением дробей к общему знаменателю.

Сложение и вычитание дробных величин

Сложить две обыкновенные дроби или вычесть из одной другую очень просто. Однако задача усложняется, когда у них разные знаменатели. В этом случае нужно выполнить операцию приведения их к единому значению. Однако перед этим нужно разобрать три основных варианта:

Сложение дробей

  1. Частное, образованное операцией деления двух знаменателей, равно целой величине.
  2. Присутствуют общие множители.
  3. Нет общих сомножителей, и один знаменатель нацело не делится на другой.

В первом случае общим знаменателем является наибольшее значение, а дробное выражение с наименьшим его значением необходимо умножить на специальный коэффициент. Последний образуется при делении одного значения на другое, т. е. 7/8 + ¾ = [7+(2*3)]/8=13/8. Число 8 можно поделить на 4. При этом получается 2.

Если брать второй вариант, то нужно рассмотреть такую операцию сложения: 7/8 + 5/6. Единый знаменатель равен величине НОК (наименьшему общему кратному), т. е. НОК (8;6)=(2*2*2;3*2)={2}*2*2*3=24. Величина в фигурных скобках — общий множитель, который не дублируется, а берется в единственном экземпляре.

В третьем случае, который называется перекрестным методом нахождения, необходимо выполнять для нахождения единого знаменателя перемножение с выставлением противоположных коэффициентов. Для примера необходимо найти сумму 4/7 и 5/8. Знаменатели не имеют общих множителей и не делятся друг на друга.

Математические преобразования выглядят таким образом: 4/7 + 5/8 = [(4*8) + (5*7)]/(7*8)=(32+35)/56=67/56. Последнее выражение невозможно сократить, поскольку величина «67» является простым числом.

Однако при приведении к общему знаменателю позволяется не только прибавлять одно дробное выражение к другому, но и вычитать. Все примеры можно править, изменив знак «+» на «-«. Кроме того, любую неправильную дробь можно преобразовать в смешанное дробное значение. Далее необходимо рассмотреть, как это нужно сделать.

Конвертация смешанных величин

Смешанную дробь перевести в неправильную

Смешанным числом называется величина, состоящая из целой части и обыкновенной правильной дроби. Примером этого значения является 4[2/3]. Следует отметить, что «4» — целая часть, а 2/3 — обыкновенная правильная дробь. Смешанная дробная величина получается при помощи преобразования неправильной дроби с выделением целого значения.

Математики разработали специальный алгоритм, позволяющий осуществить данную операцию. Он имеет следующий вид:

  1. Записать смешанное дробное тождество: 4[2/3].
  2. Вычислить новую величину числителя: 3*4+2=14.
  3. Написать результат операции, учитывая знаменатель: 14/3.

Однако не всегда нужно уметь преобразовывать смешанное дробное значение в неправильную дробь. Перед учениками может стоять обратная задача. Для этой цели существует такая методика:

Преобразования неправильной дроби с выделением целого значения

  1. Записать дробное выражение неправильного вида: 14/3.
  2. Выделить целое число посредством деления числителя на знаменатель: 14/3=4, т. к. 4*3=12.
  3. Рассчитать значение нового числителя: 14−4*3, где 3 — знаменатель, 14 — старый числитель (исходное значение) и 4 — целая часть.
  4. Написать результат: 4[2/3].

Следует отметить, что конвертация прямого и обратного типов для смешанных величин является необходимой операцией, поскольку она позволяет не только плюсовать и вычитать, но и делить и умножать обыкновенные дроби. Далее необходимо рассмотреть алгоритм, при помощи которого смешанные числа будут складываться очень просто.

Алгоритм суммирования

Складывать смешанные числа с разными знаменателями с учетом всех правил и методик очень просто. Для этого специалисты разработали специальный алгоритм. Он имеет следующий вид:

Как складывать смешанные числа с разными знаменателями

  1. Записать два смешанных дробных числа с учетом арифметической операции: 4[3/5] + 6[2/3].
  2. Сложить отдельно целые части: 4+6=10.
  3. Вычислить сумму дробей, приведя их к общему знаменателю (третий случай — перекрестное нахождение, поскольку пять не делится на три и у чисел нет общих сомножителей): 3/5 + 2/3 = (3*3)/15 + (2*5)/15 = 9/15 + 10/15=19/15.
  4. Выделить целую часть (преобразовать в смешанное дробное выражение): 1[4/15].
  5. Сложить величины, полученные во втором и четвертом пунктах: 10+1[4/15]=11[4/15].
  6. Написать результат: 11[4/15].

Следует отметить, что можно выполнить преобразование двух смешанных величин в неправильные дроби, однако это может привести к возникновению ошибок при вычислениях. Математики рекомендуют всегда оптимизировать вычисления, уменьшая количество промежуточных расчетов.

Таким образом, для сложения смешанных чисел рекомендуется использовать специальную методику, разработанную специалистами, а также знать основы работы с обыкновенными дробями.

Оцените статью
Na5.club
Добавить комментарий

Adblock
detector