Задачи на первый признак равенства треугольников

Задача 1

Треугольник ABC — равнобедренный, СD — биссектриса к основанию АВ.
Докажите, что ACD = BCD
Доказательство:
Докажем, что два треугольника равны по первому признаку. Из условия мы имеем, что
1. ∠ACD = ∠DCB (CD — биссектриса);
2. AC = BC ( треугольник АВС — равнобедренный);
3. CD принадлежит обоим треугольникам.
Тогда, треугольники ACD и BCD имеют две равные стороны и угол между ними.
Поэтому треугольники △ACD и △BCD — равны.

Задача 2

Докажите, что высота, биссектриса и медиана, проведённые к основанию равнобедренного треугольника, совпадают.
Доказательство:
Из предыдущей задачи мы имеем, что CD это биссектриса в равнобедренном треугольнике АВС, и мы доказали, что треугольники ACD и BCD равны. Из равенства следует, что угол ADC = CDB но они но они являются смежными, следовательно, их сумма равна 180°, отсюда угол ADC = CDB = 90°, что показывает, что CD это высота. Из равенства двух треугольников мы имеем, что AD = BD, т.e. CD является медианой.

Задача 3

Докажите, что углы в основании любого равнобедренного треугольника равны.
Доказательство:
Мы вновь используем первую задачу и то, что треугольники ACD и BCD равны. Углы в основании равнобедренного треугольника равны, потому что они являются соответствующими углами в равных треугольниках.

Задача 4

Вычислите периметр равнобедренного треугольника АВС, если периметр треугольника ADC равен 18 cм, и CD = 6 cм и AD = BD (fig.5)

Доказательство:
Периметр треугольника ADC = AC + CD + AD = 18 ⇔ AC + 6 + AD = 18 ⇔ AC + AD = 12
Потому что AC = BC (треугольники являются равнобедренными) и AD = DB, следовательно AC + AD = DB +BC = 12
Периметр треугольника ABC = AB + AC + BC = AD + DB + AC + BC = 12 + 12 = 24 cм.

Задача 5

Докажите, что прямая линия, которая вырезает равные отрезки на сторонах угла, является перпендикулярной к биссектрисе этого угла.
Доказательство:

Пусть прямая формирует на сторонах угла АОВ два равных отрезка OC = OD. Тогда треугольник OCD является равнобедренным ОКР и OF является биссектрисой к основанию. В соответствии с задачей, 2 OF является высотой, т.е. OF перпендикулярна к α

Задача 6

Докажите, что если диагонали четырёхугольника делят друг друга пополам, то противоположные стороны четырёхугольника — равны.
Доказательство:

Для четырехугольника ABCD мы знаем, что AO = OC и BO = OD. Тогда треугольники AOD и BOC также равны (по первому признаку, AO = OC; BO = OD и углы DOA = BOC – вершина), поэтому AD = BC. Аналогично треугольники AOB и DOC равны, откуда AB = CD

Задача 7

Докажите, что если треугольник ABC равен A₁B₁C₁ и для всех точек M и M₁ на сторонах AB и A₁B₁ верно, что AM = A₁M₁ CM = C₁M₁ и угол BMC = B₁M₁C₁
Доказательство:

потому что треугольник △ABC = △A₁B₁C₁
1. AB = A₁B₁,
2. BC = B₁C₁, CA = C₁A₁ и
3. углы A = A₁, B = B₁, C = C₁.
Тогда △AMC = △A₁M₁C₁ (по первому признаку), откуда CM = C₁M₁.

MB = M₁B₁ потому что из равных отрезков AB и A₁B₁ мы вычитаем равные отрезки AM и A₁M₁. Углы BMC и B₁M₁C₁ — равны, потому что они являются смежными углами к углам AMC и A₁M₁C₁, которые равны (треугольник AMC равен A₁M₁C₁)

Задача 8

Есть треугольники ABC (AC < BC). Внешне построены:
квадраты BMNC и CPQA.
Докажите, что AN = BP

Доказательство:
Для треугольников BPC и ACN BC = CN (BMNC – квадрат);
PC = AC (CPQA — квадрат) угол BCP = ACN = 90° + ACB. Поэтому, треугольники равны и откуда AN = BP

Задача 9

Дано: треугол. АВС

АВ = 17 см, АС > AB в 2 раза, ВС < AC на 10 см.

Найти: P треугол. ABC = ?

Задача 10

Дано: АВ = АС, <1 = <2, АС= 15 см, DC= 5 см.

а) Доказать: треугол. АВD = треугол. ACD

б) Найти: BD и АВ.

Далее с помощью фронтального опроса класса устно проверяем решение домашних задач.

Решение:

1. Пусть АВ = 17 см (по условию), тогда AC = 2АВ = 17 * 2 = 34 см, а ВС = АС – 10 = 34 – 10 = 24 см
2. P АВС = АВ + ВС + АС = 17 + 34 + 24 = 75 см.

Ответ: Р треугольника. АВС = 75 см.

Задача 11

1) Рассмотрим треугольник АВС и треугольник АСD.

а) АВ = АС (по условию)

б) < 1 = < 2 (по условию)

в) AD – общая сторона

Из а, б, в следует => треугольник АВD = треугольнику АСD по двум сторонам и углу между ними (Первый признак равенства треугольников).

2) Треугольник АВD = треугольнику АСD, мы знаем, что в равных треугольниках против соответственно равных углов лежат равные стороны, т.е. т.к <1 = <2, то BD = DC = 5 см

3) АВ = АС = 15 см (по условию)

Ответ: АВ = 15 см, ВО = 5 см.

Автор статьи

Алексей Гузанов

Репетитор, закончил Куровскую гимназию, которая входит в топ-100 школ Московской области, с золотой медалью. Являюсь победителем олимпиад по математике и информатике. Успешно сдал ЕГЭ на высокие баллы.

Задать вопрос