Общая формула для нахождения корней квадратного уравнения

Квадратное уравнение формулы Математика

Для нахождения корней квадратичной функции применяется специальная формула квадратного уравнения через дискриминант. Однако не каждый ученик может понять эту тему, поскольку школьный материал излагается не слишком доходчиво. Специалисты предлагают альтернативный метод обучения, позволяющий очень быстро и эффективно освоить этот способ решения.

Общие сведения

Квадратное уравнение — вид квадратичной функции, в которой необходимо найти нули, т. е. точки пересечения с осью абсцисс. Его математическая запись выглядит следующим образом: Qt^2+Rt+S=0. Последнее соотношение еще называется общим видом квадратного уравнения. Следует отметить, что особенностью выражения является наличие второй степени при переменной.

Кроме того, коэффициенты (Q, R и S) — это константы, которые могут быть эквивалентны единице и нулевому значению. Если Q=0, то уравнение не является квадратным. Определение последнего формулируется в таком виде: квадратным уравнением является любое выражение с одной неизвестной, возведенной во вторую степень.

Формула квадратного уравнения

На основании этого они классифицируются следующим образом:

  1. Полные.
  2. Неполные.

В первом случае все его коэффициенты не равны нулю, т. е. Q != 0, R != 0 и S != 0. Если какой-либо из них эквивалентен 0 (кроме Q), то квадратичная функция считается неполной. Всего существует три вида таких выражений:

  1. Только квадратичный элемент: Qt^2=0.
  2. Без константы свободного члена: Qt^2+Rt=0.
  3. Отсутствие низшей степени: Qt^2+S=0.

Следует отметить, что для каждого из видов квадратичной функции применима одна формула, которая строится на значении дискриминанта. Кроме того, при решении и применении соотношения необходимо сопоставлять тождество с определением квадратного уравнения, т. е. наличие второй степени обязательно.

Формула корней

Соотношение для определения решений уравнения квадратической формы сводится к нахождению некоторого параметра, который математики называют дискриминантом. Обозначается он литерой «D». Для его вычисления нужно записать тождество в общем виде, т. е. Qt^2+Rt+S=0.

Формула определения D выглядит следующим образом: D=(-R)^2 — 4SQ. В некоторых источниках можно встретить и такую запись: D=В^2-4AC. Однако на расчете дискриминанта останавливаться не стоит. Он является промежуточной (вспомогательной) величиной, позволяющей осуществить следующие действия:

Формулы квадратных уравнений

  1. Выяснить количество решений уравнения или доказать их отсутствие.
  2. Оптимизировать расчеты корней квадратичного выражения.

Далее необходимо разобрать каждый из случаев отдельно. Количество решений позволяют вычислить следующие правила:

  1. Решения отсутствуют при D<0.
  2. Один корень — D=0.
  3. Переменная принимает два значения, когда D>0.

Чтобы вычислить конкретные величины корней во втором и третьем случаях, необходимо воспользоваться специальными соотношениями. Они выглядят таким образом:

Формулы квадратного уравнения

  1. Для одного решения: t=(-R)/(2Q).
  2. При двух корнях: t1=[(-R)-(D)^(1/2)]/(2Q) и t2=[(-R)+(D)^(1/2)]/(2Q).

Следует отметить, что первое выражение получается из второго. Этот способ называется методом математических преобразований. Доказать соотношение для одного решения очень просто. Для этого нужно руководствоваться таким алгоритмом:

  1. Записывается одна формула для двух решений (любая): t2=[(-R)+(D)^(1/2)]/(2Q).
  2. Выполняется сокращение величины «D», поскольку при одном корне она эквивалентна нулю: t2=[(-R)+0]/(2Q).
  3. Искомый результат: t2=(-R)/(2Q). Соотношение доказано.

Следует отметить, что дискриминант рекомендует применять только для полных квадратичных уравнений с коэффициентом при старшей степени больше единицы. Однако это не единственные формулы, позволяющие находить корни. В некоторых случаях они не являются оптимальными, а только увеличивают расчетное время.

Другие методы

Не всегда целесообразно использовать дискриминант для расчета корней. Для этой цели существуют следующие методы:

  1. Разложение на множители.
  2. Теорема Виета.

В первом случае решаются уравнения полного и неполного видов. Многочлен раскладывают на множители или выделяют полный квадрат.

Формулы квадратного уравнения

Затем по одной из формул сокращенного умножения понижают степень и решают обыкновенное линейное уравнение.

Теорему Виета можно применять только в том случае, когда величина коэффициента при старшей степени эквивалентна единице. Если Q не равен последнему значению, то тождество квадратичного типа нужно сократить на Q.

Каждый из способов решения необходимо разобрать отдельно, поскольку они имеют совершенно разные методики нахождения решений квадратных уравнений.

Разложение на множители

Методика сокращения второй степени является одним из альтернативных методов решения квадратичных выражений. Суть ее заключается в применении формул сокращенного умножения и разложения на множители. Однако для ее реализации нужно разобрать основные соотношения:

Квадратное уравнение формула

  1. Куб разности и суммы двух величин: q^3-w^3=(q-w)(q^2+qw+w^2) и q^3+w^3=(q+w)(q^2-qw+w^2).
  2. Сумма или разность кубов значений: (q+w)^3=q^3+3wq^2+3qw^2+w^3 или (q-w)^3=q^3-3wq^2+3qw^2-w^3.
  3. Квадрат разности двух элементов: q^2-w^2=(q-w)(q+w).
  4. Сумма или разность квадратов: (q+w)^2=q^2+2qw+w^2 или (q-w)^2=q^2-2qw+w^2.

Однако эти формулы применяются только в отдельных случаях. Если квадратичная функция представлена в виде многочлена «Qt^2+Rt+S=0», то из него можно выделить квадрат. Для этого нужно воспользоваться следующей методикой:

  1. Записать искомое выражение: Qt^2+Rt+S=0.
  2. При необходимости вынести общий множитель, находящийся возле старшей степени: Q(t^2+(R/Q)t+S/Q=0.
  3. Отнять и прибавить эквивалентное значение к выражению в скобках, чтобы его можно было свернуть в формулу квадрата суммы или разности: t^2+(R/Q)t+S/Q+(Q-S)Q-(Q+S)Q=0.
  4. Выделить полный квадрат: (t+1)^2-(Q+S)/Q=0.
  5. Записать разность квадратов: [t+1-((Q+S)/Q)^(1/2))][t+1+((Q+S)/Q)^(1/2))]=0.
  6. Решить каждое из линейных уравнений по принципу приравнивания каждого множителя нулю.

Когда в квадратичном трехчлене с неизвестным отсутствует коэффициент при низшей степени переменной, задание решается немного другим методом. Он имеет следующий вид:

Квадратное уравнение формула

  1. Написать выражение: Qt^2-S=0.
  2. Сократить его на Q: t^2-S/Q=0.
  3. Разложить по формуле разности квадратов: [t-(S/Q)^(1/2)][t+(S/Q)^(1/2)]=0.
  4. Найти корни простых уравнений: [t-(S/Q)^(1/2)]=0 и [t+(S/Q)^(1/2)]=0.
  5. Записать результат.

Если тождество имеет вид «Qt^2+Rt=0», то его следует разложить на множители. Алгоритм нахождения корней имеет следующий вид:

  1. Записать тождество: Qt^2+Rt=0.
  2. Вынести общий множитель «t»: t(Qt+R)=0.
  3. Найти решения выражений: t1=0 и Qt+R=0.

Следует отметить, что в каждом случае решения могут существовать или полностью отсутствовать. Кроме того, формулу нахождения корней через дискриминант в неполных уравнениях квадратного типа рекомендуется не использовать, поскольку она существенно замедляет расчеты.

Теорема Виета

При решении приведенного квадратного уравнения (Q=1) можно воспользоваться ускоренной методикой нахождения корней, которая осуществляется при помощи теоремы Виета. Она формулируется таким образом: сумма корней соответствует коэффициенту при переменной без квадрата (R), взятой с противоположным знаком, а произведение — свободному члену (S).

Утверждение записывается в математической форме таким образом: t1+t2=-R и (t1)*(t2)=S. Если у квадратичной функции первый коэффициент (при второй степени) отличный от единицы, то выражение необходимо привести к соответствующему виду. Следует отметить, что результат должен быть целочисленным значением. В противном случае процедура вычисления займет много времени. Для закрепления теоретического материала специалисты рекомендуют решить уравнение.

Пример задачи

Формула квадратных уравнений

Условие задачи формулируется следующим образом: нужно решить уравнение «4t^2-12t+8=0» несколькими способами. Первый из них — через дискриминант. Корни находятся по такому алгоритму:

  1. Записать выражение: 4t^2-12t+8=0.
  2. Найти величину дискриминанта: D=144-128=16=4^2.
  3. Вычислить значения переменных по формулам: t1=[12-4]/8=1 и t2=[12+4]/8=2.

Уравнение является полным, и к нему применимы также два способа: теорема Виета и выделение полного квадрата. Для реализации первого метода нужно следовать такому алгоритму:

Квадратные уравнения формулы

  1. Сократить на 4: t^2-3+2=0.
  2. Найти корни: t1=1 и t2=2.
  3. Проверка: 1+2=3 (-3) и 1*2=2.

Третий метод — выделение квадрата. Операция нахождения корней осуществляется по такой методике:

  1. Написать выражение: 4t^2-12t+8=0.
  2. Выполнить «подгон» к формуле квадрата разности (прибавить и отнять 1): 4t^2-12t+8+1-1=0.
  3. Выделить квадрат: (4t^2-12t+9)-1=(2t-3)^2-1=0.
  4. Разложить на множители: (2t-3-1)(2t-3+1)=(2t-4)(2t-2)=0.
  5. Найти корни: t1=1 и t2=2.

Следует отметить, что каждый сам выбирает метод решения. Однако необходимо учитывать, что оно должно быть оптимальным.

Таким образом, для решения квадратного уравнения применяются различные формулы, благодаря которым можно находить его корни оптимальным способом.

Оцените статью
Na5.club
Добавить комментарий

Adblock
detector