Очень часто у учеников возникают сложности в изучении правил деления дробей в математике 5 класса, поскольку школьная программа не всегда понятна. Выход из этой ситуации нашли специалисты. Они предлагают использовать универсальную пошаговую методику изучения темы. Однако сначала необходимо восполнить «пробелы» в знаниях, а затем к ней переходить.
Общие сведения
Некоторые школьники не до конца понимают алгоритм работы с обыкновенными дробями. Из-за этого и возникают ошибки, приводящие к плохим оценкам на контрольных работах. Основной причиной является полное непонимание материала, а также отсутствие знаний об обыкновенных дробных выражениях. Навыки, которыми должен обладать ученик, формулируются следующим образом:
- Основные отличия между дробями.
- Понятие о смешанных величинах.
- Упрощение числителя и знаменателя (сокращение).
Следует отметить, что специалисты рекомендуют не пропускать ни одного из пунктов. Это объясняется тем, что необходимы конкретные и правильные навыки выполнения математических операций с дробными тождествами.
Далее нужно рассмотреть обыкновенные дроби.
Обыкновенные дроби
Математическое выражение, состоящее из числителя и знаменателя, называется обыкновенной дробью. Последняя записывается в следующем виде: E/F, где Е и F — числитель и знаменатель соответственно. Математики условно классифицируют обыкновенные дробные выражения на два вида:
- Прaвильные.
- Непрaвильные.
У первых всегда величина числителя меньше знаменателя, а у вторых — наоборот, т. е. F<E. Следует отметить, что неправильные дробные величины иногда представляются в виде смешанного числа. Это необходимо для упрощения выражения, а также представления результата в более читабельной форме.
Дробные тождества бывают и десятичными. Их можно представить также в обыкновенном виде. Для этого нужно воспользоваться определенной методикой:
- Записать десятичное тождество: 5,25.
- Умножить ее на величину, кратную десяти, с количеством нулей, которые эквивалентны величине разрядов после запятой: 5,25*100=525 (два разряда).
- Обыкновенная дробь: 525/100.
- Сокращение на 25: 21/4.
Следует отметить, что последняя операция применяется для уменьшения числителя и знаменателя дробного выражения. Результат можно также преобразовать в смешанное число.
Работа со смешанными числами
Смешанное число состоит из двух частей — целой и дробной. Причем последняя представлена в виде обыкновенной дроби. Смешанное образуется путем преобразования неправильного дробного значения. Алгоритм этой операции выглядит следующим образом:
- Написать неправильную дробь.
- Выделить целочисленное значение.
- Рассчитать новый числитель, используя такую формулировку: числитель (Cn) нового дробного выражения эквивалентен произведению знаменателя Z на целую часть M с учетом исходного значения C. Математическая формула выглядит таким образом: [Cn]/Z, где Cn=Z*M-C.
- Записать результат: Сn/Z.
Для обратного преобразования необходимо применить также определенную методику. Она имеет следующий вид:
- Написать смешанное выражение: Сn/Z.
- Вычислить величину нового числителя: С= Сn+Z*M.
- Результирующая величина: С/Z.
Для закрепления теоретического материала рекомендуется разобрать работу с числом 29/8. Для его преобразования в смешанное число необходимо следовать алгоритму:
- Написать величину: 29/8.
- Выделить целое: 29/8=3.
- Числитель новой дроби: 29−3*8=5.
- Результат: 3[5/8].
Чтобы выполнить обратное преобразование, нужно воспользоваться специальной методикой. Решение задачи выглядит таким образом:
- Записать выражение: 3[5/8].
- Найти новый числитель: 8*3+5=29.
- Написать результат: 29/8.
Для оптимизации вычислений специалисты рекомендуют ознакомиться с правилами сокращения дробей обыкновенного вида. Они применяются для существенного упрощения и уменьшения объема вычислений.
Правила сокращения
Сокращение числителя и знаменателя на натуральное число используется для облегчения вычислительного процесса.
Следует отметить, что необходимо научиться выделять общий множитель и выносить его за скобки. Специалисты выделили несколько правил, которые позволят сократить дробное выражение и привести его в более удобную для вычислений формулу.
К ним относятся следующие:
- Деление или умножение числителя и знаменателя на эквивалентные величины не изменяет дробное выражение.
- Если тождество представлено в виде обыкновенной дроби с переменными значениями в знаменателе, то он должен проверяться на равенство нулевому выражению.
- Дробь не изменится при вычитании или прибавлении к двум ее частям одинаковых значений.
- Для вынесения общего множителя можно воспользоваться математическими формулами сокращенного умножения.
Следует отметить, что правила необходимо разбирать на конкретном примере. Для этой цели подойдет дробь «[4(1-Q)(2+3Q)]/[4-4Q^2]». Упростить ее можно следующим образом:
- Записать выражение: [4(1-Q)(2+3Q)]/[4-4Q^2].
- Разложить знаменатель на множители: 4-4Q^2=4(1-Q)(1+Q).
- В знаменателе переменная Q не должна равняться -1 и 1.
- Написать выражение полностью: [4(1-Q)(2+3Q)]/[4(1-Q)(1+Q)].
- Сократить на 4(1-Q): [4(1-Q)(2+3Q)]/[4(1-Q)(1+Q)]=(2+3Q)/(1+Q).
- Результат: (2+3Q)/(1+Q).
Очень важно при сокращении дроби следить за сомножителями, т. е. они не должны быть разными. Если поделить одно число на эквивалентное значение, то получается единица.
Последняя не влияет на выражение. Далее необходимо перейти к методике деления дробей.
Алгоритм деления
Правильно поделить обыкновенные дробные тождества не всегда получается, поскольку многие не знают специальной методики или объяснения ее реализации на практике. Она является довольно простой, когда ученик четко следует алгоритму. Он имеет следующий вид:
- Запись дробных тождеств.
- Преобразование при необходимости в неправильные дроби.
- Сократить выражения.
- Умножить одно дробное тождество на обратный делитель (второе выражение), т. е. (Q/T) : (R/S).
- Упростить тождество, полученное на четвертом шаге.
- Сформулировать результат.
Для реализации методики деления дроби на дробь необходимо разобрать конкретный пример, в котором нужно разделить 4[7/22] на 3[3/11]. Задание решается следующим образом:
- Записать дроби: 4[7/22] на 3[3/11].
- Преобразовать в неправильную форму: 4[7/22]=95/22 на 3[3/11]=36/11.
- Сокращать нет необходимости, поскольку величины приведены к оптимальному виду.
- Выполнить операцию деления, сокращая на 11: (95/22) : (36/11) = 95/22 * 11/36 = 95/72.
- Преобразовать в смешанное число: 1[23/72].
- Результат: 1[23/72].
Следует отметить, что рекомендуется преобразовывать (упрощать) дробные выражения нужно на каждом шаге. Например, в четвертом пункте можно выполнить перемножение числителей и знаменателей, но это существенно замедлит вычисления. В этом случае можно воспользоваться операцией упрощения в процессе умножения.
Делить дробь на дробь при условии, что одна из них имеет такой же знаменатель, очень просто. Для этого необходимо руководствоваться следующий правилом: при делении обыкновенных дробных выражений с одинаковыми знаменателями результатом операции является числитель первой дроби и знаменатель — числителем второй. Математическая форма записи имеет такой вид: (Q/W) : (P/W) = Q/P. Для доказательства необходимо выполнить такие действия:
- Написать дроби: Q/W и P/W.
- Выполнить операцию деления: Q/W : P/W = Q/W * W/P = Q/W.
- Утверждение доказано.
Аналогично доказывается утверждение и для величин с одинаковыми числителями. В этом случае результирующая дробь находится по формуле Q/S : Q/W = Q/S * W/Q = W/S.
Таким образом, деление дробей необходимо выполнять по определенной методике, а также помнить об обратном делителе.
